Enunciado

Derive a função

f ( x ) = log_2 ( 1 - 3 x )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( x ) = log_2 ( 1 - 3 x )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F (x) = f ( g (x) )

Então:

F^' (x) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

Também precisaremos da Regra da Potência onde temos que se:

f (x) = x^n

Onde n é uma constante.

Então:

f^' (x) = n x^(n - 1)

Mas antes de tudo, temos que simplificar um pouco a nossa função para aplicarmos essas regrinhas.

Passo 2

Temos a seguinte propriedade dos logaritmos:

log_a b = (ln b)/(ln a)

Assim, aplicando na nossa função, temos:

f (x) = log_2 (1 - 3 x) = (ln (1 - 3 x))/(ln 2)

Aplicando a derivada, temos:

f^' (x) = (d)/(d x) [(ln (1 - 3 x))/(ln 2)]

Retirando a constante para fora da derivada, temos:

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (d)/(d x) [ln (1 - 3 x)]

Agora sim podemos aplicar as regrinhas! 😉

Passo 3

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = 1 - 3 x , temos:

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (d)/(d u) (ln u) (d)/(d x) (1 - 3 x) :.

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(u) * (d)/(d x) (1 - 3 x) :.

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(1 - 3 x) * (d)/(d x) (1 - 3 x)

Passo 4

Resolvendo a derivada que nos restou, temos:

(d)/(d x) (1 - 3 x) = (d)/(d x) (1) - (d)/(d x) (3 x) :.

(d)/(d x) (1 - 3 x) = 0 - 3 x^(1 - 1) :.

(d)/(d x) (1 - 3 x) = - 3

Aplicando em f^' (x) :

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(1 - 3 x) * (- 3) :.

f^' (x) = (- 3)/(ln 2 (1 - 3 x))

Resposta

f^' (x) = (- 3)/(ln 2 (1 - 3 x))

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