Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado.

x = sen ⁡ t

y = cos 2 ⁡ t

- 2 π ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Assim

cos 2 ⁡ t = 1 - sen 2 ⁡ t

E com isso, podemos dizer que

y = 1 - x 2

Que é a equação de uma parábola, virada para baixo, corando o eixo y em y = 1 .

Passo 2

Temos que ficar atentos ao intervalo de parametrização:

- 2 π ≤ t ≤ 2 π

Assim, quando t = - 2 π temos

x = sen ⁡ ( - 2 π ) = 0

y = cos 2 ⁡ ( - 2 π ) = 1

E quando t = 2 π temos

x = sen ⁡ ( 2 π ) = 0

y = cos 2 ⁡ ( 2 π ) = 1

O mesmo ponto ( 0 , 1 ) !!

Isso significa que a partícula começa e termina sua trajetória no ponto P i = P f = ( 0 , 1 ) .

Passo 3

Mas a gente já sabe que a partícula anda sobre uma parábola.

E a parábola

y = 1 - x 2

Tem raízes

x = ± 1

Ou seja, nossa partícula começa sua trajetória no ponto ( 0,1 ) , que é o topo da parábola, depois desce até o ponto ( 1,0 ) , depois sobe de novo até o topo no ponto ( 0,1 ) , desce para o outro lado da parábola no ponto ( - 1,0 ) e retorna ao topo no ponto ( 0,1 ) para finalizar sua trajetória.

E depois de tanto descer e subir ela deve é ficar cansada... RISOS.

Resposta

A partícula se move ao longo da parábola

y = 1 - x 2

Iniciando sua trajetória no ponto ( 0,1 ) , que é o topo da parábola, depois desce até o ponto ( 1,0 ) , depois sobe de novo até o topo no ponto ( 0,1 ) , desce para o outro lado da parábola no ponto ( - 1,0 ) e retorna ao topo no ponto ( 0,1 ) para finalizar sua trajetória.

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