Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado.

x = cos ⁡ π t

y = sen ⁡ π t

1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ π t + sen 2 ⁡ π t = 1

Assim

x 2 + y 2 = 1

Que é a equação de uma circunferênciacentrada na origem, com raio 1 .

Passo 2

Mas, temos que ficar atentos ao intervalo de parametrização, que é

1 ≤ t ≤ 2

Assim, quando t = 1

x = cos ⁡ π = - 1

y = sen ⁡ π = 0

E quando t = 2 :

x = cos ⁡ 2 π = 1

y = sen ⁡ 2 π = 0

Então nossa partícula começa sua trajetória no ponto P i = ( - 1,0 ) e termina no ponto P f = ( 1,0 ) , o que significa que ela tá se movendo no sentido anti-horário ao longo da circunferência e na real, não anda a circunferência inteira, somente a metade de baixo dela, pra ir do P i até o P f , sacou?

Resposta

A partícula se move no sentido anti-horário ao longo da metade inferior da circunferência

x 2 + y 2 = 1

Do ponto   P i = ( - 1,0 ) até o ponto P f = ( 1,0 ) .

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