Enunciado

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = sen ⁡ θ

y = cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

a )

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Assim

x 2 + y 2 = 1

Que é a equação cartesiana de uma circunferência centrada na origem e de raio 1 .

Porem contudo entretanto todavia, o intervalo de parametrização é

0 ≤ θ ≤ π

Portanto não estamos falando da circunferência inteira, apenas de metade dela.

Passo 2

b )

Quando θ = 0 temos

x = sen ⁡ 0 = 0

y = cos ⁡ 0 = 1

Quando θ = π temos

x = sen ⁡ π = 0

y = cos ⁡ π = - 1

Assim, nossa semicircunferência começa no ponto ( 0,1 ) e termina no ponto ( 0 , - 1 ) .

Além disso, nesse intervalo de θ temos que

sen ⁡ θ ≥ 0

Então

x = sen ⁡ θ ≥ 0

E nossa semicircunferência está na parte positiva do eixo x .

Passo 3

Traçando nossa curva, temos

Resposta

a )

x 2 + y 2 = 1

b )

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