Enunciado

Uma função cúbica é um polinômio de grau três; isto é, tem a forma f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , em que a ≠ 0 .

  1. Mostre que uma função cúbica pode ter dois, ou nenhum número(s) crítico(s). Dê exemplos e esboços que ilustrem essas três possibilidades.
  2. Quantos valores extremos locais uma função cúbica pode ter?

Passo 1

  1. Temos uma função f x = a x 3 + b x 2 + c x + d ,   a ≠ 0 . Assim sendo, nossa derivada será
  2. f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

    que é uma raiz quadrática, e consequentemente, tem 2 ,   1 ou 0 raízes reais, assim f ( x ) tem 0 ,   1 ou 2 números críticos.

    Exemplo 1 com dois números críticos:

    f x = x 3 - 3 x

    f ' x = 3 x 2 - 3

    f ' x = 0

    3 x 2 = 3

    x = ± 1

    1 e - 1 são números críticos.

    Gráfico:

    Exemplo 2 com 1 número crítico:

    f x = x 3

    f ' x = 3 x ²

    f ' x = 0

    x = 0

    0 é o número crítico.

    Gráfico:

    Exemplo três com nenhum número crítico:

    f x = x 3 + 3 x

    f ' x = 3 x 2 + 3

    f ' x = 0

    3 x 2 = - 3

    Como não há raiz de número negativo, não há número crítico.

    Gráfico:

    Passo 2

  3. Como há no máximo dois números críticos, pode haver no máximo dois valores extremos locais e como no exemplo 1, isso pode ocorrer. Como no exemplo 3, pode ser que não haja nenhum valor extremo. No entanto, se há apenas um número crítico, logo, não há valor de extremo local.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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