Enunciado

Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto de todos os pontos ( x ,   y ) tais que x 2 + 1 ≤ y ≤ x + 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente desenhar o conjunto A , que é definido como o conjunto de todos os pontos ( x ,   y ) tais que x 2 + 1 ≤ y ≤ x + 1 . Isso quer dizer que temos uma função y = h ( x ) que está entre a parábola x 2 + 1 e a reta x + 1 .

Então, basta a gente esboçar a parábola e a reta, para obtermos nossa região entre as duas curvas.

Além disso, vamos precisar calcular a área de A e para isso vamos usar a integral de área entre curvas:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando a nossa região. Temos a reta x + 1 , em azul, que corta o eixo y em 1 . E temos a parábola x 2 + 1 , centrada no eixo y e deslocada em uma unidade para cima (em verde):

Repare que a região entre as curvas, pintada em laranja, é a nossa região A e é dessa região que nós vamos calcular a área agora.

Passo 3

Usando a fórmula da integral de área, vista no passo 1 , vamos ter f x = x + 1 e g x = x 2 + 1 (a função de cima menos a função de baixo). Além disso, repare que nossa região varia de x = 0 até x = 1 , onde as curvas se cruzam. Então, nosso intervalo de integração é a ,   b = [ 0 ,   1 ] .

Substituindo tudo, ficamos com:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Á r e a =   ∫ 0 1 x + 1 - x 2 + 1   d x

E integrando, temos:

x 2 2 + x - x 3 3 - x 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 2 2 + 1 - 1 3 3 - 1 - 0 2 2 + 0 - 0 3 3 - 0

= 1 6

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

Á r e a = 1 6

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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