Enunciado

Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 3 sec ⁡ θ - π 3

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

De início, sabendo que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , podemos dizer que:

r = 3 sec ⁡ θ - π 3   ⟹ r = 3 c os ⁡ θ - π 3   ⟹ r cos ⁡ θ - π 3 = 3

Veja que a equação encontrada, apresenta uma diferença entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y + sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ - π 3 = 3   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 + sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 3  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 + r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 3

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ 1 2 + y ∙ 3 2 = 3

Multiplicando ambos os lados por 2 , têm-se:

x + 3 y = 6

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma reta.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x + 3 y = 6 .

Exercícios de Livros Relacionados

A órbita do cometa Halley, visto pela última vez em 1986 e com retorno esperado para 2062 , é uma elipse com excentricidade 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo maior é 36,18A U . [Uma uni
A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,093 e semieixo maior 2,28.10 8k m . Encontre uma equação polar da órbita.
A órbita de Júpiter tem excentricidade 0,0 48 e o comprimento do seu eixo maior é 1,56.10 9k m . Encontre uma equação polar para a órbita.
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r0 e outro com r0 . (a) ( 2 ,π 3 ) (b) ( 1 ,- 3 π 4 ) (c) ( - 1 ,π 2
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r0 e outro com r0 . 1 ,7 π 4 - 3 ,π 6 1 , - 1