Enunciado

Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 8 4 + cos ⁡ θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por 4 + cos ⁡ θ :

r ( 4 + cos ⁡ θ ) = 8

4 r + r cos ⁡ θ = 8

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

4 x 2 + y ² + x = 8

4 x 2 + y ² = 8 - x

Elevando ambos os lados ao quadrado:

16 x 2 + y 2 = ( 8 - x ) 2

Usando a fatoração do produto notável, temos:

16 x 2 + 16 y 2 = 64 - 16 x + x 2

1 5 x 2 + 16 x + 16 y 2 = 64

A equação é uma elipse porque os coeficientes de x 2   e   y ² da equação cartesiana são diferentes, mas têm o mesmo sinal.

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma elipse.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

15 x 2 + 16 x + 16 y 2 = 64 .

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