Escreva a função comprimento de arco de:

b) r(t) = (cos(2t), sen(2t), 4)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l t = ∫ 0 t r ' → t d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar r ' → t . Vem comigo!

r → t = cos ⁡ 2 t , s e n 2 t ,   4

Derivando,

r ' → t = 2 - s e n 2 t , 2 cos ⁡ 2 t , 0

Logo,

r ' → t = - 2 s e n 2 t , 2 cos ⁡ 2 t , 0

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = - 2 s e n 2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 + 0 2

Assim,

r ' → t = 4 s e n 2 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo,

r ' → t = 4

Portanto,

r ' → t = 2  

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l t = ∫ 0 t 2   d t

Tirando o 2 da integral:

l t = 2 ∫ 0 t d t

Integrando:

l t = 2 t

Resposta

l t = 2 t

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