Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

44. x y + y z + z x = 5 ,   1 ,   2 ,   1

Passo 1

a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

As derivadas no ponto em questão serão:

f x ,   y ,   z = x y + y z + z x

f x = y + z ⇒ f x 1 ,   2 ,   1 = 2 + 1 = 3

f y = x + z ⇒ f y 1 ,   2 ,   1 = 1 + 1 = 2

f z = y + x ⇒ f z 1 ,   2 ,   1 = 2 + 1 = 3

∴ ∇ f 1 ,   2 ,   1 = ( 3 ,   2 ,   3 )

Passo 2

Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:

x - 1 ,   y - 2 ,   z - 1 ∙ 3 ,   2 ,   3 = 0

3 x - 3 + 2 y - 4 + 3 z - 3 = 0

∴ 3 x + 2 y + 3 z = 10

Que é a equação do plano tangente!

Passo 3

b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:

x ,   y ,   z = x o ,   y o ,   z o + t . ∇ f

Substituindo os valores que temos:

x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   1 + t . ( 3 ,   2 ,   3 )

∴ x = 1 + 3 t ,   y = 2 + 2 t   e   z = 1 + 3 t

Que são as equações paramétricas da reta normal!

Resposta

a) 3 x + 2 y + 3 z = 10

b) x = 1 + 3 t ,   y = 2 + 2 t   e   z = 1 + 3 t

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