Enunciado

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

c) g x = 4 x 3 - 8 x 2

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta g ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta g ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

g ' x = 12 x 2 - 16 x

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

12 x 2 - 16 x = 0

4 x 3 x - 4 = 0

∴ x = 0   o u   x = 4 3

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando g ' x > 0 e quando g ' x < 0 , se liga:

À direita de x = 0 temos que g ' x < 0 ;

À esquerda de x = 0 temos que g ' x > 0 ;

À direita de x = 4 3 temos que g ' x > 0 ;

À esquerda de x = 4 3 temos que g ' x < 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) ∪ 4 3 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: 0 , 4 3 .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função g de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

g x = 4 x 3 - 8 x 2

g ' x = 12 x 2 - 16 x

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

g ' x = 12 x 2 - 16 x = 0

Assim como vimos no passo 2 , esse resultado só é válido para x = 0 e x = 4 3 . Sabendo disso, então esses valores de x são os pontos críticos da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos críticos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

f 0 = 4.0 3 - 8.0 2 = 0

f 4 3 = 4 . 4 3 3 - 8 . 4 3 2 = 256 27 - 384 27 = - 128 27

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: 0 ,   0 ;

Mínimo da função: 4 3 ,   - 128 27 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) ∪ 4 3 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: 0 , 4 3 .

Máximo da função: 0 ,   0 ;

Mínimo da função: 4 3 ,   - 128 27 .

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f ( x ) = 2 e x / ( 1 + x ² ) ² possui um valor mínimo absoluto? E um máximo absoluto? Em caso afirmativo, calcule-os; do contrário, explique por que eles não existem. Liste todos os pontos críticos d