Enunciado

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Determinar se possível a área da região sob o gráfico da função y = 1 x 2 + 1 2 , de - ∞   a + ∞ .

Passo 1

Querem saber área que está debaixo dessa curva aqui:

Passo 2

Pra isso, a gente precisa calcular (se possível) a integral:

∫ - ∞ ∞ 1 x 2 + 1 2 d x

Vamos calcular a integral indefinida primeiro:

∫ 1 x 2 + 1 2 d x  

Pra calcular essa a gente pode usar uma substituição trigonométrica, podemos fazer x = t g   θ .

Daí teremos d x = sec 2 ⁡ θ   d θ e x 2 + 1 = t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Aí vai ficar:

∫ sec 2 ⁡ θ   d θ ( sec 2 ⁡ θ ) 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ   d θ

= ∫ 1 sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ

Passo 3

Beleza, vamos voltar para a variável x agora.

A gente tem que:

θ = a r c t g   x

s e n   2 θ = s e n   2 a r c t g   x = 2 x 1 + x 2

Agora a gente volta pro resultado:

1 2 a r c t g   x + 1 4 2 x 1 + x 2  

Como essa é uma função par, podemos analisar só o caso em que os valores são positivos e no final dobramos o valor.

Passo 4

Vamos lá, a área vai ser dada por:

A = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 a r c t g   x + x 2 1 + x 2 d x

Aí a gente jogar pro limite:

lim b → ∞ ⁡ 1 2 a r c t g   x + x 2 1 + x 2 0 b

lim b → ∞ ⁡ 1 2 a r c t g   b + b 2 1 + b 2 - 1 2 a r c t g   0 - 0 2 1 + 0 2

lim b → ∞ ⁡ 1 2 a r c t g   b

= 1 2 a r c t g   + ∞ = 1 2 π 2 = π 4

Então a área pedida é:

A = 2 ∙ π 4 = π 2

Prontinho! Área calculada😉

Resposta

A = π 2

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