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Determinar o vetor gradiente das seguintes funções :

f x , y , z = x y z 2 + s e n x

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em um determinado ponto, denotamos o vetor gradiente da seguinte maneira

∇ f x 0 , . . x n = ∂ f ∂ x 0 , … , ∂ f ∂ x n

Este vetor tem como propriedade de suma importância ser perpendicular as curvas e superfícies de nível, portanto é extremamente importante sabermos sua representação e o que ele significa.

Passo 2

Visto isso, vamos aprender como calculá-lo

Precisamos calcular inicialmente as derivadas parciais em cada coordenada, logo segue que

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x

∂ f ∂ x x , y , z = 2 y x z 2

∂ f ∂ x x , y , z = 2 z x y 2

Passo 3

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x x , y , z , ∂ f ∂ y x , y , z , ∂ f ∂ z x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x , 2 y x z 2 , 2 z x y 2

Resposta

∇ f x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x , 2 y x z 2 , 2 z x y 2

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