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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart - 14.4 - 18

Determine a aproximação linear da função f x , y = ln ⁡ x - 3 y em ( 7 , 2 ) e use-a para aproximar f 6,9 ,   2,06 . Ilustre, traçando o gráfico da função e do plano tangente.

Passo 1

Show de bola, galera. Basicamente precisamos avaliar primeiro as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto ( 7,2 ) .

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x - 3 y = 1 x - 3 y →       N o   p o n t o   ( 7,2 )     ∂ f ∂ x ( 7,2 ) = 1

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x - 3 y = - 3 x - 3 y →       N o   p o n t o   ( 7,2 )     ∂ f ∂ y ( 7,2 ) = - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto ( 7,2 ) , basta fazer:

L x , y = f ( 7,2 ) ⏟ 0 + ∂ f ∂ x ( 7,2 ) ⏟ 1 ∙ x - 7 + ∂ f ∂ y ( 7,2 ) ⏟ - 3 ∙ y - 2

L x , y = x - 7 - 3 y - 2 ∴ L x , y = x - 3 y - 1

Para o nosso caso, queremos calcular L 6,9 ,   2,06 ≈ f 6,9 ,   2,06 :

L 6,9 ,   2,06 = - 0,28

Passo 3

Agora vamos analisar a aproximação que fizemos L 6,9 ,   2,06 ≈ f 6,9 ,   2,06 visualizando o gráfico da função juntamente com o respectivo plano tangente ao ponto ( 7,2 ) :

Resposta

L 6,9 ,   2,06 = - 0,28

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