Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Inicialmente, vamos colocar a nossa esfera na sua forma reduzida. Para isto, vamos completar quadrados.

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 = 4

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Agora, precisamos entender qual é a região D , região de interseção entre o paraboloide e a esfera. Portanto, vamos substituir x 2 + y 2 = z na equação da esfera e ver o valor de z que satisfaz!

z + z 2 - 4 z = 0

z z - 3 = 0

Portanto, ou z = 0 ou z = 3 . Como z tem que ser diferente de 0, pois neste caso a interseção é um ponto, a região D será ditada quando z = 3 . Logo,

x 2 + y 2 = 3

Passo 2

Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 z . Sendo assim

∂ z ∂ x = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = x z - 2

∂ z ∂ y = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = y z - 2

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + x z - 2 2 + y z - 2 2 d A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 ( z - 2 ) 2 d A

Agora, vamos substituir z - 2 2 = 4 - x 2 - y 2

A S = ∬ D 1 + x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 d A

A S = ∬ D 4 4 2 - x 2 - y 2 d A

Passo 3

Conforme já foi discutido no passo 1, a região D é um círculo de raio 3 centrado na origem. Portanto, em coordenadas polares, os limites de integração são:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 3

Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 ⋅ r 4 2 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π - 2 4 - r 2 0 3 d θ

A S = ∫ 0 2 π - 2 4 - 3 + 4 d θ

A S = ∫ 0 2 π 2 d θ

A S = 4 π

Resposta

A S = 4 π

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Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y = 1 - x 2 e y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y e z = 2 + y .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .