Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 12
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do paraboloide .
Passo 1
Inicialmente, vamos colocar a nossa esfera na sua forma reduzida. Para isto, vamos completar quadrados.
Agora, precisamos entender qual é a região , região de interseção entre o paraboloide e a esfera. Portanto, vamos substituir na equação da esfera e ver o valor de que satisfaz!
Portanto, ou ou . Como tem que ser diferente de 0, pois neste caso a interseção é um ponto, a região será ditada quando . Logo,
Passo 2
Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função . Sendo assim
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Agora, vamos substituir
Passo 3
Conforme já foi discutido no passo 1, a região é um círculo de raio centrado na origem. Portanto, em coordenadas polares, os limites de integração são:
Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:
Resposta
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