Enunciado

Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r t = t i + cos 2 ⁡ t j + sen 2 ⁡ t k

Passo 1

Show de bola, galera. Para calcularmos essas componentes, não tem mistério.

Precisamos calcular apenas dois vetores: r ' t e r ' ' t . Uma vez calculado isso, as contas sairão de maneira automática.

Para não restar mais dúvidas quanto a esses cálculos, vamos te dar um macete pra você saber qual fórmula usar para a aceleração tangencial e qual usar para a aceleração normal, beleza?

As fórmulas têm essa cara aqui:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t

Deixamos aquelas interrogações de propósito mesmo! Só para nos confortarmos com a ideia de que as fórmulas têm aquela cara mesmo....Beleza? Agora atenção, lá vem o macete....

Vamos imaginar aquela “cruzinha” que simboliza o produto vetorial...Isso mesmo, é a × mesmo! Essa cruzinha não é formada por dois segmentos de reta que formam ângulos de 90 ° ?

Ou seja, esses segmentos de reta são normais entre si...Opa!!! Brotou a palavra normal, é isso mesmo?!?! Então, o macete é justamente esse!

Para a componente normal da aceleração, vamos usar a cruzinha do produto vetorial (e colocaremos um módulo no numerador):

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a N = r ' t × r ' ' t r ' t

Já para a aceleração tangencial, usaremos o produto interno no lugar da interrogação:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t

Shooow!!! Agora partiu fazer todas as contas!

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor r ' t :

r ' t = d d t r t = 1 i - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t j + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t k = 1 i - sen ⁡ 2 t j + sen ⁡ 2 t k

Calculemos agora r ' t :

r ' t = 1 2 + - sen ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 2 t 2 = 1 + 2 sen 2 ⁡ 2 t ⏟ 1 - cos ⁡ 4 t = 2 - cos ⁡ 4 t

Vamos calcular agora o vetor r ' ' t :

r ' ' t = d d t r ' t = - 2 cos ⁡ 2 t j + 2 cos ⁡ 2 t k

Vamos calcular os seguintes produtos agora: s^2+(s^2+c2) = 1, c2 = c^2-s^2

r ' t ⋅ r ' ' t = - sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + sen ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t = 2 sen ⁡ 4 t

r ' t × r ' ' t = - 2 cos ⁡ 2 t k - 2 cos ⁡ 2 t j + - sen ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t i - sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t i

r ' t × r ' ' t = - 2 cos ⁡ 2 t j - 2 cos ⁡ 2 t k

Por último, só falta calcular:

r ' t × r ' ' t = - 2 cos ⁡ 2 t 2 + - 2 cos ⁡ 2 t 2 = 2 2 cos ⁡ 2 t

Passo 3

Agora só falta aplicarmos as fórmulas para as componentes da aceleração:

a N = r ' t × r ' ' t r ' t = 2 2 cos ⁡ 2 t 2 - cos ⁡ 4 t

a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t = 2 sen ⁡ 4 t 2 - cos ⁡ 4 t

Resposta

a N = 2 2 cos ⁡ 2 t 2 - cos ⁡ 4 t   e   a T = 2 sen ⁡ 4 t 2 - cos ⁡ 4 t

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