Enunciado

Vimos que todos os campos vetoriais na forma F → = ∇ g satisfazem a equação r o t   F → = 0 e que todos os campos vetoriais na forma F → = r o t G → satisfazem a equação d i v   F → = 0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma f = d i v   G → devem satisfazer? Mostre que a resposta dessa pergunta é não, demonstrando que toda função contínua f em R 3 é o divergente de algum campo de vetores. (Sugestão: tome G → x , y , z = g x , y , z , 0,0 , onde g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t . )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Seguindo a sugestão:

G → = g x , y , z , 0,0

E o divergente de G → é:

∇ ⋅ G → = ∂ ( g x , y , z ) ∂ x + ∂ ∂ y 0 + ∂ ∂ z 0

Passo 2

Agora seguindo novamente a sugestão do problema, vou substituir a função g x , y , z por

g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t

Então o divergente de G → fica:

∇ ⋅ G → = ∂ ∂ x ∫ 0 x f t , y , z d t

E, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral é a primitiva aplicada nos limites, então:

∇ ⋅ G → = f ( x , y , z )

Assim toda função contínua no espaço R 3 é a solução para a equação ∇ ⋅ G → .

Ou seja, é a divergência de algum campo vetorial G → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule e )∫ γ s e nx y + x y cos ⁡ x y d x + x 2 cos ⁡ x yd y Onde γ t = t 2 - 1 ,t 2 + 1,- 1 ≤ t ≤ 1
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Calcule ∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) yd x + xd y