Enunciado

a. Determine uma curva y = f ( x ) com as seguintes propriedades:

i) d 2 y d x 2 = 6 x

ii) Seu gráfico passa pelo ponto ( 0 ,   1 ) , e possui nesse ponto uma tangente horizontal.

b. Quantas curvas como essa existem? Como você sabe?

Passo 1

O que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado fornece e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes que aparecem após a integração.

Deve-se lembrar, também, que a primeira derivada representa o coeficiente angular, tal informação que pode ser analisada pelo item (ii).

O fato da tangente ser horizontal no ponto dado, significa que o coeficiente angular é nulo.

Passo 2

Com essa informação, pode-se encontrar a função da curva integrando esta equação diferencial, tal que:

d y d x = ∫ 6 x d x

d y d x = 3 x ² + C 1

Passo 3

Aplicando as informações do item (ii), temos que m = 0 ,   x = 0 ,   y = 1 e, então:

m = d y d x = 0 = 3 0 2 + C 1 ∴ C 1 = 0

Com isso,

d y d x = 3 x ²

Passo 4

Para encontrar a função primitiva que será a função da curva desejada, integra-se a primeira derivada:

y = ∫ 3 x ² d x = x 3 + C 2

Passo 5

Aplicando novamento o ponto dado ( x = 0 ,   y = 1 ) :

1 = 0 3 + C 2 ∴ C 2 = 1

Portanto, a função da curva é y = x 3 + 1 .

Resposta

A curva é y = x 3 + 1 .

Existem infinitas curvas como essa. Isso se deve ao fato de que a constante C 2 pode ter qualquer valor, o que faria com que a posição inicial da curva se alterasse, mas a sua forma não, ou seja, as condições (i) e (ii) ainda seriam atendidas.

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o) ∫ 3 x 2 + x + 1 x 3 d x
s)∫ 2 x 3 - 1 x 4 d x
n) ∫ a x + b d x , aebc o n s t a n t e s
p) ∫ ( x + 1 x 2 ) d x
l) ∫ x + 1 x d x