Determine a derivada.

f(x) = raiz_3((x - 1) / (x + 1))

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma raiz cúbica, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Onde u = g x .

Passo 2

Temos que g x é a função mais de dentro e y = f x a função mais de fora:

u = g x = x - 1 x + 1

Assim:

y = f x = u 3 = u 1 3

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função constante, do polinômio e da divisão, vamos dá uma olhada nelas:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

r x s x ' = r ' x s x - r x s ' x s x 2

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x = d d u u 1 3 ⋅ d d x x - 1 x + 1

Passo 4

Vamos calcular a derivada do produto:

d d x x - 1 x + 1 = r ' x s x - r x s ' x s x 2 = x - 1 ' x + 1 - x - 1 x + 1 ' x + 1 2 = x 1 - 1 - 0 x + 1 - x - 1 x 1 - 1 + 0 x + 1 2 = x 0 - 0 x + 1 - x - 1 x 0 + 0 x + 1 2 = 1 - 0 x + 1 - x - 1 1 + 0 x + 1 2 = x + 1 - x + 1 x + 1 2 = 2 x + 1 2

Passo 5

Agora é só substituir de volta em y ' :

y ' = d d u u 1 3 ⋅ d d x x - 1 x + 1 = 1 3 u 1 3 - 1 ⋅ 2 x + 1 2 = 1 3 u - 2 3 ⋅ 2 x + 1 2 = 1 3 u 2 3 ⋅ 2 x + 1 2 = 2 3 x + 1 2 u 2 3

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = 2 3 x + 1 2 u 2 3 = 2 3 x + 1 2 x - 1 x + 1 2 3

Resposta

y ' = 2 3 x + 1 2 x - 1 x + 1 2 3

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