Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = a^3 + cos ³ x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = a^3 + cos ³ x

Onde a é uma constante.

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

y ' = f ' (g (x)) . g ' (x)

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f (x) e g (x) de tal forma que:

y (x) = f (g (x))

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Mas antes, perceba que a derivada da soma é a soma das derivadas, portanto:

y^' = (a^3 + cos ³ x) ' = (a^3) ' + ( cos ³ x ) '

Da regra da função constante temos:

(c)^' = 0

Então:

(a^3)^' = 0

Assim, podemos concluir que:

y^' = ( cos ³ x ) '

Passo 3

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de uma função trigonométrica elevada ao cubo.

Assim, encontrando as funções f (x) e g (x) , onde g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora, temos:

g (x) = cos (x) e f (u) = u^3

Agora vamos usar a regra da cadeia para derivar!!

Passo 4

Da função trigonométrica cosseno:

(cos (x))^' = - sen (x)

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 5

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando a regras:

g^' (x) = (cos (x))^' :.

g^' (x) = - sen (x)

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' (u) = (u^3)^' :.

f^' (u) = 3 u^(3 - 1) :.

f^' (u) = 3 u^2

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y^' = (cos^3 (x))^' :.

y^' = f^' (g (x)) . g^' (x) :.

y^' = 3 u^2 . (- sen (x))

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = 3 u^2 . (- sen (x)) :.

y^' = 3 cos^2 (x) . (- sen (x)) :.

y^' = - 3 cos^2 (x) sen (x)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = - 3 cos^2 (x) sen (x)

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