Encontre a derivada da função.

y = a^3 + cos^3(x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = a 3 + cos ⁡ ³ x

Onde a é uma constante.

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

y ' = f ' g x . g ' x

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f x e g x de tal forma que:

y x = f g x

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Mas antes, perceba que a derivada da soma é a soma das derivadas, portanto:

y ' = a 3 + cos ⁡ ³ x ' = a 3 ' + ( cos ⁡ ³ x ) '

Da regra da função constante temos:

c ' = 0

Então:

a 3 ' = 0

Assim, podemos concluir que:

y ' = ( cos ⁡ ³ x ) '

Passo 3

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de uma função trigonométrica elevada ao cubo.

Assim, encontrando as funções f x e g x , onde g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora, temos:

g x = cos ⁡ x e f u = u 3

Agora vamos usar a regra da cadeia para derivar!!

Passo 4

Da função trigonométrica cosseno:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 5

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' x usando a regras:

g ' x = cos ⁡ x ' ∴

g ' x = - sen ⁡ x

Agora f ' u , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f ' u = u 3 ' ∴

f ' u = 3 u 3 - 1 ∴

f ' u = 3 u 2

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y ' = cos 3 ⁡ x ' ∴

y ' = f ' g x . g ' x ∴

y ' = 3 u 2 . - sen ⁡ x

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = 3 u 2 . - sen ⁡ x ∴

y ' = 3 cos 2 ⁡ x . - sen ⁡ x ∴

y ' = - 3 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = - 3 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

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