5- Sejam f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 ,     x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x ,   y = ( 0 ,   0 ) e u = (1, 1)

a)Calcule ∂f/∂u (0, 0), usando a definição.

Passo 1

a)Primeira coisa que temos que pensar aqui... Qual a definição, né ?!

Olha é essa aqui:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Cara,

P 0 + t u = 0,0 + t , t = ( t , t )

Assim,

f P 0 + t u = t 3 t 2 + t 2

Epaaa, que aqui você pode estar pensando... Porque eu tenho que usar a primeira expressão para f P 0 + t u ???

Cara, se nós olharmos a definição, nós percebemos que f ( P 0 ) é calculado no ponto P 0 , já f P 0 + t u é calculado fora do nosso ponto, pois como t ≠ 0 (ele está no denominador), P 0 + t u   ≠ 0 . Por isso, nós precisamos das definições de f para calcular ∂ f ∂ u 0 ,   0 . A verdade é que essa tranqueira toda acontece porque a bendita função muda de definição no ponto que o enunciado pede, sacou ??? Agora sim podemos continuar!

Também temos:

f P 0 = 0

u = 1 2 + 1 2 = 2

Passo 2

Trocando os nossos dados na fórmula da definição, temos:

lim t → 0 ⁡ t 3 t 2 + t 2 - 0 2 t = lim t → 0 ⁡ t 3 2 t 2 2 t = l i m t → 0 t 3 2 t 3 2

= l i m t → 0 1 2 2 = 2 4

Resposta

2 4

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