Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x y + y z + z x = 5 ,                   ( 1 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. Para isso, vamos interpretar a superfície com uma superfície de nível 0 da função

f x , y , z = x y + y z + z x - 5

O vetor normal ao plano será o gradiante dessa função:

∇ f x , y , z = ( y + z , x + z ,   x + y )

Usando x ,   y ,   z = ( 1 ,   2 ,   1 ) :

∇ f = ( 3 ,   2 ,   3 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 2

A equação do plano tangente é dada pelo produto escalar:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ ∇ f = 0

Assim,

x - 1 ,   y - 2 ,   z - 1 ⋅ 3 ,   2 ,   3 = 0

Portanto,

3 x - 3 + 2 y - 4 + 3 z - 3 = 0

Logo,

3 x + 2 y + 3 z = 10

Passo 3

Já para a reta normal:

x , y , z = x 0 ,   y 0 , z 0 + t   ∇ f

Assim,

x , y , z = 1 ,   2 ,   1 + t   ( 3 ,   2 ,   3 )

Resposta

3 x + 2 y + 3 z = 10

x , y , z = 1 ,   2 ,   1 + t   ( 3 ,   2 ,   3 )

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = e x cos ⁡ y , 0 ,0 ,θ = π / 4
A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é D u 2 f x , y = D u D u f x , y Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,1 ) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = x x 2 + y 2 , 1 ,2 ,v → = ( 3 ,5 )
Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.