Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

51-

u = e - s   s e n   t

Passo 1

Como a nossa função se chama u e temos variáveis iguais a s e t , logo nossas derivadas de segunda ordem se chamarão:

u s s ,   u t t ,       u s t

Acredite em mim essa notação cai bastante em prova e em concurso também.

Vamos começar calculando as derivadas em relação a s :

Como na questão vimos que pela regra do produto as funções que possuem t não fazem a menor diferença, logo vamos tratar-la como constante por que dá no mesmo.

u s = s e n   t × d d s e - s

Pela regra da cadeia temos:

d d s e - s = - e - s

So:

u s = - s e n   t   e - s

Agora para a derivada segunda:

u s s = - s e n   t d d s e - s = s e n   t   e - s

Podemos resolver também a expressão de u s t :

u s t = - e - s d d t ( s e n   t )

u s t = - e - s cos ⁡ t

Passo 2

Agora vamos para as derivadas em t da função:

u t = e - s d d t ( s e n   t )

u t = e - s cos ⁡ t

Sem complicação né? Derivada de seno é cosseno e derivada de cosseno é menos seno e por aí vai.

Logo a derivada segunda será:

u t t = e - s d d t ( cos ⁡ t ) = - e - s sin ⁡ t

Vamos confirmar as nossas ações fazendo u t s :

u t s = cos ⁡ t d d s e - s = - e - s cos ⁡ t = u s t

Está tudo ok! Vamos para a próxima

Resposta

u s s = s e n   t   e - s

u s t = - e - s cos ⁡ t

u t t = - e - s sin ⁡ t

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