Enunciado

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

v = s e n   ( s 2 - t 2 )

Passo 1

Vamos lá, a gente tem que encontrar

v s s ,   v s t ,   v t s ,   v t t

Pra isso, primeiro a gente faz as derivadas de primeira ordem. Vamos lá...

v s = cos ⁡ s 2 - t 2 ( 2 s )  

v s = 2 s cos ⁡ s 2 - t 2

v t = cos ⁡ s 2 - t 2 - 2 t

v t = - 2 t cos ⁡ ( s 2 - t 2 )

Show! Agora a gente deriva isso de novo em relação a cada uma variável.

Passo 2

Derivando v s em relação a s de novo:

v s s = 2 cos ⁡ s 2 - t 2 + 2 s ( - s e n   s 2 - t 2 ( 2 s )

v s s = 2 cos ⁡ ( s 2 - t 2 ) - 4 s 2 s e n   ( s 2 - t 2 )  

E agora em relação a s ...

v s t = 2 s cos ⁡ ( s 2 - t 2 )   ( - 2 t )

v s t = - 4 s t cos ⁡ ( s 2 - t 2 )

Passo 3

Agora vamos derivar v t em relação a s :

v t s =   - 2 t cos ⁡ s 2 - t 2 ( 2 s )  

v t s =   - 4 s t cos ⁡ ( s 2 - t 2 )

E agora em relação a t ...

v t t =   - 2 cos ⁡ s 2 - t 2 + 2 t   s e n   s 2 - t 2 ( - 2 t )

v t t =   - 2 cos ⁡ s 2 - t 2 - 4 t 2 s e n   ( s 2 - t 2 )

Prontinho! Calculamos todas as derivadas de segunda ordem😊

Resposta

v s s = 2 cos ⁡ ( s 2 - t 2 ) - 4 s 2 s e n   ( s 2 - t 2 )  

v s t = - 4 s t cos ⁡ ( s 2 - t 2 )

v t s =   - 4 s t cos ⁡ ( s 2 - t 2 )

v t t =   - 2 cos ⁡ s 2 - t 2 - 4 t 2 s e n   ( s 2 - t 2 )

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