Enunciado

Determine f x , y diferenciável em R 2 e suponha que existe M > 0 tal que | |     ∇ f x , y | | ≤ M     para todo x , y . Prove que

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤   M   | |   x , y - s , t | |  

Para quaisquer que sejam x , y   e s , t em R 2 .

Passo 1

Se ligua que a questão ta com uma cara de TVM, a única coisinha diferente é só a norma, mas isso é o de menos, beleza?

Então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né?

Não lembra quais são as hipóteses? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do R 2 , P 0 e P 1 dois pontos de A tais que o segmento P O P 1 esteja contido em A. Nestas condições, se f x é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto P - = x - ,   y - interno ao segmento P 1 P 0 ,   tal que:

f P 1 - f P 0 = ∇ f P - ⋅ (   P 1 - P 0 )

Passo 2

Considere a , b ∈ R 2 , quaisquer. E considere A =   x , y x > a   e   y > b } . Perceba que esse conjunto é aberto e é não vazio pois o ponto a + 1 ,   b + 1 ∈ A .

Então considere P 1 = x , y e P 0 s , t em A .

Como f   é diferenciável em R 2 , em particular, f é diferenciável em A . Então , pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto P - = x - ,   y - interno ao segmento P 1 P 0 ,   tal que:

f P 1 - f P 0 = ∇ f P - ⋅ (   P 1 - P 0 )

Passando a norma nos dois lados da igualdade, temos que

| |   f x , y   - f s , t | | =   ∇ f P - ⋅ x , y - s , t

Perceba que no lado direito, temos apenas o módulo, isso acontece porque a operação é o produto interno do R 2 , e sua norma é o módulo, beleza?

Então temos o módulo de um produto interno, isso nos faz lembrar de uma coisinha: Desigualdade de Cauchy-Schuarz. “Queee? Falou grego” kkkk, relaxa ela é famosinha, é essa daqui:

  u ⋅ v   ≤   | | u | |   | | v | |

A gente tem que

| |   f x , y   - f s , t | | =   ∇ f P - ⋅ x , y - s , t

E agora vamos usar o Cauchy-Schuarz, beleza?

  | |   f x , y   - f s , t | |   ≤   | |     ∇ f P - | |   | |   x , y - s , t | |  

Como que | |     ∇ f x , y | | ≤ M     para todo x , y , então isso vale também para | |     ∇ f P - | | , entãããão

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤   | |     ∇ f P - | |   | |   x , y - s , t | |   ⟹

Agora, colocando M pra ficar igual no nosso enunciado, ficamos com:

  | |   f x , y   - f s , t | |   ≤   M   | |   x , y - s , t | |

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

SejamA e B dois subconjuntos do R 2 não seja aberto. Prove que se A e B forem abertos, então A ∪ B e A ∩ B também são.
Determine P - = x - ,y - como no teorema do valor médio, sendo dados:b) f x , y = 2 x 2 - 3 y + x y ,P 0 = 1,2eP 1 = 4,3
Seja f x , y = l n ⁡ ( x + y ) Prove que | |f x , y- f s , t | |≤ | |x , y - s , t | | Para quaisquer que sejam x , ye s , t , com x1 , y1 , s1 e t1 .
Determine P - = x - ,y - como no teorema do valor médio, sendo dados:b) f x , y = x 3 + x y 2 ,P 0 = 1 , 1eP 1 = 2 , 2
Determine P - = x - ,y - como no teorema do valor médio, sendo dados: f x , y = 2 x 2 + 3 y ,P 0 = 2,3eP 1 = 1,1