Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 16.3 - Ex. 12

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  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e b) use a parte a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y = y i + x + 2 y j , C é a semicircunferência superior que começa em (0,1) e termina em (2,1).

Passo 1

Para resolver a letra a) precisamos comparar as derivadas parciais da nossa função f com as componentes do campo vetorial F. E com isto, resolveremos algumas integrais.

Já a letra b) precisaremos relembrar da seguinte relação:

∫ C F ⋅ d r = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f r a

No nosso caso, a integral será dada por:

∫ C F ⋅ d r = f 2,1 - f 0,1

Pontos final e inicial da nossa curva

Passo 2

Para obtermos esta função f , temos que comparar cada um dos termos de F com as derivadas parciais de f . Isto é:

f x x , y , z = y f y x , y , z = x + 2 y

Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a x . Com isto, obtemos que:

f x , y , z = x y + g y

Precisamos descobrir quem é essa g y agora. Para isto, vamos ter de usar a outra equação do nosso sistema inicial. E para podermos utilizar essas equações, vamos ter de obter a derivada parcial da função f em relação a y . Portanto,

f y x , y , z = x + g ' y = x + 2

g ' y = 2

Portanto, g y = 2 y . Sendo assim, a nossa função f é:

f x , y = x y + 2 y

E essa é a nossa função f .

Passo 3

Conforme descrito no Passo 1, basta substituirmos as coordenadas do ponto final e inicial na função f . Sendo assim, a nossa integral é:

∫ C F ⋅ d r = f 2,1 - f 0,1

∫ C F ⋅ d r = 2 + 2 - 0 + 2

∫ C F ⋅ d r = 2

E esse é o resultado da nossa integral.

Resposta

  1. f x , y = x y + 2 y

∫ C F ⋅ d r = 2

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