Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que a equação da esfera é dada por:

z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que z = 7 temos:

7 = 1 + 2 x 2 + 2 y 2

Logo:

x 2 + y 2 = 3

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

z = 1 + 2 r 2

E:

r = 3

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 3 ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

V = ∬ D z d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 7 - 1 + 2 r 2 ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 6 r - 2 r 3 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 3 6 r - 2 r 3 d r = 6 r 2 2 - 2 r 4 4 0 3

∫ 0 3 6 r - 2 r 3 d r = 1 2 6 3 2 - 3 4

∫ 0 3 r + 2 r 3 d r = 1 2 18 - 9

∫ 0 3 r + 2 r 3 d r = 9 2

Logo:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 6 r - 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 π / 2 9 2 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 π / 2 27 2 d θ = 9 2 θ 0 π / 2

∫ 0 π / 2 27 2 d θ = 9 2 π 2

∫ 0 π / 2 27 2 d θ = 9 π 4

Portanto o volume vale:

V = 9 π 4

Resposta

V = 9 π 4

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Usando coordenadas polares, calcular:h) ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x