Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 24
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide e o plano no primeiro octante.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Em coordenadas polares, temos que a equação da esfera é dada por:
Onde:
Sendo assim, quando nos é dada a condição de que temos:
Logo:
Sabemos que , logo:
E:
Sabemos que o volume do sólido é dado por:
Onde será a região delimitada por:
Passo 2
Agora é só desenvolver. Como:
Resolvendo a integral de dentro, temos:
Logo:
Resolvendo, agora, temos:
Portanto o volume vale:
Resposta
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Usando coordenadas polares, calcular:c) ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y d y d x
Usando coordenadas polares, calcular:d) ∫ 0 1 ∫ 0 y - y 2 y d x d y
Usando coordenadas polares, calcular:i) ∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2 x d y d x
Usando coordenadas polares, calcular:e) ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x
Usando coordenadas polares, calcular:h) ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x