Enunciado

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.

S é a região triangular com vértices 0,0 , 1,1 , 0,1 ;

x = u 2 ,         y = v

Passo 1

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R .

Então primeiro vamos olhar para o lado S 1 no plano u v . S 1 é descrito por u = v   0 ≤ u ≤ 1 , e das equações dadas temos:

y = v = u

x 2 = u 2 = v 2

Ficamos então com:

x = y           0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

S 2 é o segmento de reta v = 1   0 ≤ u ≤ 1 , então:

y = v = 1

x = u 2

Então temos que:

y = 1               0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

S 3 é o segmento de reta u = 0 ,   0 ≤ v ≤ 1 , então:

x = u 2 = 0

y = v

Vamos ficar com:

x = 0             0 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Agora podemos montar a imagem do conjunto S , que é a região R mostrada no plano x y , um paralelogramo delimitado por esses três segmentos.

Resposta

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Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s
Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares, sendo φ obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K
Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Descreva e esboce a região D .