Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - 2 0 1 4 - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso temos que o integrando explode em x = - 2 pois o denominador se anula nesse ponto. Assim, devemos fazer

∫ - 2 0 1 4 - x 2   d x = lim t → - 2 + ⁡ ∫ t 0 1 4 - x 2   d x

A integral será convergente se o limite existir e for finito.

Passo 2

Para calcular a primitiva, vamos fazer x = 2 y ⇒ d x = 2   d y :

∫ 1 4 - x 2 d x = ∫ 1 4 - 4 y 2 ⋅ 2   d y = ∫ 1 1 - y 2 d y

Assim,

∫ 1 4 - x 2 d x = a r c s e n   y = a r c s e n x 2

Portanto,

∫ t 0 1 4 - x 2   d x = a r c s e n x 2 t 0 = a r c s e n   0 - a r c s e n t 2 = - a r c s e n t t 2

Passo 3

Tomando o limite t → - 2 + , temos que

a r c s e n t 2 → - π 2

Portanto,

lim t → - 2 + ⁡ ∫ t 0 1 4 - x 2   d x = - - π 2 = π 2

Desta forma, vemos que a integral é convergente!

Resposta

π 2

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫