Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → 2 + .

Com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 lim x → 2 + ⁡ x 2 - 5 x + 6

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8

Perceba que quando x → 2 + , o nosso limite fica:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 = 2 2 - 2 2 - 8

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 = - 8

Logo, o resultado do nosso limite tende a um número negativo e próximo de 8 .

Passo 3

Agora, analisando o denominador, temos:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 5 x + 6

Aqui vamos fazer um pouquinho diferente: vamos substituir x no limite por um número relativamente maior e próximo de 2 (já que x → 2 + ):

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 5 x + 6 = 2,000001 2 - 5 2,000001 + 6

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 5 x + 6 = 4,000004 - 10,000005 + 6

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 5 x + 6 = - 0 , 0000009

Logo, o resultado do nosso limite tende a um número negativo e próximo de 0 !!

Passo 4

Dessa forma, temos uma divisão de dois números negativos. E isso resulta em um número positivo!!!

E, como o denominador se aproxima de zero, o nosso limite tende ao infinito.

Juntando essas duas informações, temos:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = + ∞

Resposta

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = + ∞

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Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que lim x → a ⁡ f x
Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , se todos os limites existirem.
underset(t - 1)(lim) root(4)(t^2 + 5 t + 3)
underset(y - 3)(lim) (y - 1)/(y + 5)
underset(y - 0)(lim) root(3)(y^2 - 1)