Encontre

f(x+h)-f(x)/h

E

f(w) - f(x) / (w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f(x) = 3x^2 - 5

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

f x + h - f ( x ) h

Onde f x = 3 x 2 - 5 .

Então, calculando f ( x + h ) :

f x + h = 3 x + h 2 - 5

x + h 2 é um produto notável que é igual a x 2 + 2 x h + h 2 , mas vou resolver com mais calma aqui:

f x + h = 3 x + h x + h - 5

Fazendo a multiplicação:

f x + h = 3 ( x 2 + x h + x h + h 2 ) - 5

f x + h = 3 x 2 + 2 x h + h 2 - 5

f x + h = 3 x 2 + 6 x h + 3 h 2 - 5

Substituindo na expressão que queremos:

f x + h - f ( x ) h = 3 x 2 + 6 x h + 3 h 2 - 5 - 3 x 2 + 5 h

Arrumando esse numerador:

f x + h - f ( x ) h = 6 x h + 3 h 2 h

Podemos colocar h em evidência:

f x + h - f ( x ) h = h ( 6 x + 3 h ) h

E simplificar o h :

f x + h - f ( x ) h = 6 x + 3 h

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

f w - f ( x ) w - x

Vamos achar f w :

f w = 3 w 2 - 5

Substituindo:

f w - f ( x ) w - x = 3 w 2 - 5 - 3 x 2 + 5 w - x

Arrumando o numerador:

f w - f ( x ) w - x = 3 w 2 - 3 x 2 w - x

Podemos colocar o 3 em evidência:

f w - f ( x ) w - x = 3 ( w 2 - x 2 ) w - x

Opa, podemos abrir o seguinte produto notável w 2 - x 2 = ( w - x ) ( w + x ) :

f w - f ( x ) w - x = 3 ( w - x ) ( w + x ) w - x

Assim, simplificamos o w - x :

f w - f ( x ) w - x = 3 ( w + x )

Só isso!

Resposta

f x + h - f ( x ) h = 6 x + 3 h

E

f w - f ( x ) w - x = 3 ( w + x )

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