Enunciado

4)Calcular ∬_R^() (d x d y)/((1 + x^2 + y^2)^((3)/(2))) onde R é a região da Figura 7.35.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 <= r <= a

0 <= theta <= (pi)/(2)

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(0 0)^(a (pi)/(2)) (r)/((1 + r^2)^(3 // 2)) d theta d r

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a theta ,

int_0^((pi)/(2)) (r)/((1 + r^2)^((3)/(2))) d theta = (pi)/(2) ((r)/((1 + r^2)^((3)/(2))))

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a r ,

(pi)/(2) int_0^a (1 + r^2)^(- (3)/(2)) r d r =

((pi)/(2) * (1)/(2) * ((1 + r^2)^(- (3)/(2)))/(- (1)/(2))|_0^a =

(- (pi)/(2) * (1)/(sqrt(1 + r^2))|_0^a =

(pi)/(2) * (- (1)/(sqrt(1 + a^2)) + 1)

Resposta

(pi)/(2) * (- (1)/(sqrt(1 + a^2)) + 1)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 6 - x 2 - y 2 e z = 2 x 2 + 2 y 2 .
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares. ∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2x 2 + y 2 d y d x
Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade nor
Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .