Responde Aí

Enunciado

Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 e que contenham a intersecção dos planos x + y + z = 3 e z = 0 .

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar a intersecção dos planos. Quando dois planos se intersectam formam uma reta de intersecção.

Neste caso, como um dos planos é z = 0 , podemos concluir que a coordenada z da reta será sempre 0 e que c = o = 0 . Substituindo z = 0 na equação do outro plano

x + y = 3

y = 3 - x

Se fizermos x = t ,   t ∈ R podemos escrever a reta como a função

r t = t , 3 - t , 0

Passo 2

Achando agora o plano tangente

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto genérico onde o plano tangencia a função.

Calculando as derivadas no ponto ( x 0 , y 0 )

f x ( x 0 , y 0 ) = 2 x 0

f y ( x 0 , y 0 ) = 2 y 0

E a função no ponto é f x 0 , y 0 = x 0 2 + y 0 2 , substituindo na equação do plano

z - x 0 2 - y 0 2 = 2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 ( y - y 0 )

z - x 0 2 - y 0 2 = 2 x 0 x + 2 y 0 y - 2 x 0 2 - 2 y 0 2

2 x 0 x + 2 y 0 y - z = x 0 2 + y 0 2

Passo 3

Como o plano contém a reta, a direção da reta tem que ser perpendicular a normal do plano.

A reta tem direção definida pelos coeficientes de t em cada coordenada v → = 1 , - 1,0 .

A normal do plano é definida pelos coeficientes da equação do plano n → = 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 .

Temos que, por serem perpendiculares:

v → ⋅ n → = 0

1 , - 1,0 ⋅ 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 = 0

2 x 0 - 2 y 0 + 0 = 0

2 x 0 - 2 y 0 = 0

x 0 = y 0

Podemos ainda pegar um ponto qualquer da reta, quando t = 0 ⇒ r 0 = 0,3 , 0 e jogarmos da equação do plano

6 y 0 = x 0 2 + y 0 2

Usando a igualdade x 0 = y 0

6 y 0 = 2 y 0 2

y 0 2 - 3 y 0 = 0

y 0 y 0 - 3 = 0

Uma das possibilidades é

y 0 = 0

E a outra

y 0 = 3

Então temos dois planos, quando x 0 = y 0 = 0

2 x 0 x + 2 y 0 y - z = x 0 2 + y 0 2

z = 0

E quando x 0 = y 0 = 3

6 x + 6 y - z = 18

Resposta

z = 0

6 x + 6 y - z = 18

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