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Determine o ponto da parábola y = x 2   mais próximo de ( 14 , 1 )

Passo 1

Perceba que precisamos encontrar o valor máximo da função f x , y = x - 14 2 + y - 1 2 .Desejamos achar o ponto que esteja na parábola. Então, podemos usar multiplicador de Lagrange, com esta restrição. Vamos chama-la de g x , y = y - x 2

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de laringe

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 14  

∂ f ∂ y x , y = 2 ( y - 1 )  

Logo,

∇ f   x , y = 2 x - 14 , 2 ( y - 1 )

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = - 2 x

∂ g ∂ y x , y = 1

Logo,

  ∇ g   x , y = 1 , - 2 x

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x - 14 = - 2 λ x   2 y - 1 = λ y = x 2  

Temos que,

2 x - 14 = - 2 λ x ⟹

x - 14 =   - λ x    

Daí,

2 y - 1 = λ   ⟹

2 x 2 - 1 = λ  

Sendo assim,

x - 14 =   - λ x     ⟹

x - 14 = - 2 x 2 - 2 x

x - 14 = - 2 x 2 - 2 x   ⟹

x - 14 =   - 2 x 3 + 2 x   ⟹  

- 2 x 3 + x + 14 = 0

x = 2   é a única raiz. Substituindo,

y = 4  

Resposta

2,4

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