Enunciado

Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ ( 1 - cotg ² ⁡ x )   d x

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

A primitiva resulta desse processo. Nesse caso trabalharemos com as funções trigonométricas.

Passo 2

Podemos substituir a função pela identidade trigonométrica, tornando a equação mais fácil de ser solucionada:

1 + cotg 2 ⁡ x = cossec 2 ⁡ x

cotg ² ⁡ x = cossec 2 ⁡ x - 1

Substituindo, teremos:

∫ 1 - cossec 2 ⁡ x - 1 d x

∫ ( 2 - cossec 2 ⁡ x ) d x = ∫ 2   d x - ∫ cossec 2 ⁡ x   d x

Solucionando através das derivadas das funções trigonométricas, teremos:

2 x - - cotg ⁡ x + C = 2 x + cotg ⁡ x + C

Somar a constante de integração é essencial para garantir a resposta certa.

Passo 3

Derivando a solução do passo anterior para tirarmos a prova real, teremos:

2 + - cossec 2 ⁡ x + 0 = 2 - cossec 2 ⁡ x

1 - cossec 2 ⁡ x - 1 = 1 - cotg ² ⁡ x

Resposta

2 x + cotg ⁡ x + C

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