Enunciado

Determine se as retas L 1 e L 2 são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersecção.

20. L 1 : x = 1 + 2 t ,   y = 3 t ,   z = 2 - t

L 2 : x = - 1 + s ,   y = 4 + s ,   z = 1 + 3 s

Passo 1

Vamos relembrar que as equações paramétricas de uma reta são:

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

z t = z 0 + c t

Sendo v = ( a , b , c ) o vetor paralelo a reta.

Então usando isso para L 1 e L 2 , podemos encontrar os vetores paralelos às duas retas:

L 1 :

x = 1 + 2 t

y = 3 t

z = 2 - t

Então, v 1 = 2 , 3 , - 1

L 2 :

x = - 1 + s

y = 4 + s

z = 1 + 3 s

Então, v 2 = ( 1,1 , 3 )

Note que não existe nenhuma relação de proporcionalidade entre v 1 e v 2 , isso quer dizer que as duas retas não são paralelas.

Então só falta descobrirmos se elas se cruzam em algum ponto, para isso podemos igualar cada coordenada de cada reta:

1 + 2 t = - 1 + s

3 t = 4 + s

2 - t = 1 + 3 s

Isolando t na terceira equação, ficamos com t = 1 - 3 s , então vamos substituir isso na segunda equação:

3 1 - 3 s = 4 + s

3 - 9 s = 4 + s

s = - 1 10

Agora vamos substituir os valores encontrados de s e t   na primeira equação:

1 + 2 1 + 3 10 = - 1 - 1 10

1 + 26 10 = - 11 10

36 10 = - 11 10

Como essa igualdade é falsa, concluímos que nosso sistema não possui solução que satisfaça as três equações ao mesmo tempo, portanto, nossas retas são reversas.

Resposta

Reversas.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache uma equação da reta que satisfaz as condições: a inclinação é -2 e o intercepto x é 4.
Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine o intercepto y.
Determine, através das inclinações, se os três pontos são colineares: (4,6), (1, 2), (-5, -4).
Dada a reta l com equação 2 y - 3 x = 4 e o ponto P ( 1 ,- 3 ) , (a) ache uma equação da reta passando por P , perpendicular a l e (b) a menor distância de P à reta l
Ache uma equação da reta que satisfaz as condições: passa pelo ponto (1, -7) e é paralela ao eixo x.