Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = e x s e n   y ,   e y s e n   z ,   e z s e n   x

Passo 1

Para calcularmos o rotacional definido como ∇ × F ^

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

E para calcularmos o divergente ∇ ⋅ F → , fazemos

∇ ⋅ F → = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Agora temos elementos para resolver o problema

Passo 2

  1. Vamos calcular o rotacional da F → dada
  2. ∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z e x s e n   y e y s e n   z e z s e n   x = d ( e z s e n   x ) d y - d ( e y s e n   z ) d z i ^ + d ( e x s e n   y ) d z - d ( e z s e n   x ) d x j ^ + d e y s e n   z d x - d ( e x s e n   y ) d y k ^

    ∇ × F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

    Passo 3

  3. Agora calculando o divergente de F →

∇ ⋅ F → = d e x s e n   y d x + d e y s e n   z d y + d e z s e n   x d z = e x s e n   y + e y s e n   z + e z s e n   x

Resposta

∇ × F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

∇ ⋅ F → = e x s e n   y + e y s e n   z + e z s e n   x

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