Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.6 - Ex. 8

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desse livro

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

Passo 1

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = n ! 100 n

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = ( n + 1 ) ! 100 n + 1

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 n ! 100 n

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 ⋅ 100 n n ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) n ! 100 n 100 ⋅ 100 n n ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 = ∞

Passo 3

Como:

L = ∞

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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