Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

21-

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(1 + sqrt(n))

Passo 1

Podemos comparar essa série com :

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n)) = sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n))/(n)

E essa série pode ser comparada com:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n)

Onde com certeza por intervalor de 1 a oo nós teremos:

(sqrt(n))/(n) > (1)/(n)

Logo a série (sqrt(n))/(n) com certeza divergirá.

Passo 2

Porém não podemos dizer muito sobre a série dada no enunciado pois ela pode ser escrita da seguinte forma:

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n))/(sqrt(n) + n)

E o denominador dessa função é maior que n nos dando uma fração menor (seria melhor se o denominador fosse menor), então não podemos dar nenhuma certeza se essa série divergirá também. Sendo necessária o teste da comparação por limite.

Vamos então chamar:

a_n = (sqrt(n))/(n)

b_n = (sqrt(n))/(sqrt(n) + n)

Logo fazendo o limite de n tendendo a infinito temos:

underset(n -> oo)(lim) ((sqrt(n))/(n) xx (sqrt(n) + n)/(sqrt(n))) = underset(n -> oo)(lim) ((sqrt(n))/(n) + 1)

O que pode ser:

underset(n -> oo)(lim) ((1)/(sqrt(n)) + 1) = 1

Como encontramos um número maior que 0 então podemos dizer com certeza que as duas funções divergem.

Resposta

Série divergente.

Vamos que essa bateria de exercícios estão acabando.

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