Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n 5 n

Passo 1

Note que podemos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = n 5 n

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = n + 1 5 n + 1

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 5 n + 1 n 5 n

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 5 n + 1 ⋅ 5 n n = lim n → ∞ ⁡ n + 1   5 n 5 1 ⋅ 5 n n = lim n → ∞ ⁡ 1   5 ⋅ n + 1 n = 1 5 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Agora, já podemos tirar o modulo:

1 5 lim n → ∞ n + 1 n ⁡ = 1 5 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 5   ⋅ 1 = 1 5

Passo 3

Como:

1 5 < 1

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n 5 n

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 . 2 n n !
Os termos de uma serie são definidos recursivamente pelas equações: a 1 = 2a n + 1 = 5 n + 1 4 n - 3 a n Determine de ∑ a n converge ou diverge.
O que você pode dizer sobre a serie ∑ a n nos casos: a) lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 8 b)lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0,8 c)lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 10 n n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2