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Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 3 n + 2 n n + 1 ↔ f x = 3 x + 2 x x + 1

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 3 x + 2 x x + 1 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 3 x + 2 x x + 1 d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por frações parciais, em que teremos:

3 x + 2 x x + 1 = A x + B x + 1 ∴ A x + 1 + B x x x + 1 = x ( A + B ) + A x x + 1 → A + B = 3 A = 2 → ∴ A = 2 B = 1

Temos, portanto, que:

3 x + 2 x x + 1 = 2 x + 1 x + 1 → ∴ ∫ 3 x + 2 x x + 1 d x = ∫ 2 d x x + ∫ d x x + 1 = 2 ln ⁡ x ⏟ ln ⁡ x 2 + ln ⁡ x + 1 ⏟ ln ⁡ x 2 ∙ x + 1

Retornando à nossa integral imprória, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 3 x + 2 x x + 1 d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ x + 1 1 t = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t 2 ∙ t + 1 - ln ⁡ 1 ∙ 2 = ∞

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1   é divergente

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