Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (n)/(n^4 + 1)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (n)/(n^4 + 1) harr f (x) = (x)/(x^4 + 1)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (x)/(x^4 + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (x)/(x^4 + 1) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição trigonométrica com x = sqrt(tg theta) e d x = (sec^2 theta)/(2 sqrt(tg theta)) d theta :

int (x)/(x^4 + 1) d x = int (sqrt(tg theta))/((sqrt(tg theta))^4 + 1) * (sec^2 theta)/(2 sqrt(tg theta)) d theta = (1)/(2) int (((1)/(cos^2 theta)))/(underset(((sen^2 theta)/(cos^2 theta) + 1))(ubrace tg^2 theta + 1)) d theta = (1)/(2) int (((1)/(cos^2 theta)))/(((1)/(cos^2 theta))) d theta = (theta)/(2)

int (x)/(x^4 + 1) d x = (theta)/(2) underset(theta = tg^(- 1) (x^2))(->) int (x)/(x^4 + 1) d x = (tg^(- 1) (x^2))/(2)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (x)/(x^4 + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) [(tg^(- 1) (x^2))/(2)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) ((tg^(- 1) (t^2))/(2) - (tg^(- 1) (1))/(2)) = (pi // 2)/(2) - (pi // 4)/(2) = (pi)/(8)

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n)/(n^4 + 1) é convergente

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