Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (n !)/(e^(n^2))

Passo 1

Fração envolvendo fatorial??? Teste da Razão!!

Aplicando o Teste da Razão:

underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = underset(n -> oo)(lim) (((n + 1) !)/(e^((n + 1)^2)))/((n !)/(e^(n^2))) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 1) !)/(e^((n + 1)^2)) * (e^(n^2))/(n !) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 1) * n !)/(e^((n^2 + 2 n + 1))) * (e^(n^2))/(n !) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 1) * e^(n^2))/(e^(n^2) * e^(2 n + 1))

Resolvendo o limite acima por L’Hopital:

underset(n -> oo)(lim) ((n + 1))/(e^(2 n + 1)) underset(L^' H o p i t a l)(->) underset(n -> oo)(lim) (1)/(2 e^(2 n + 1)) = 0

Passo 2

Show de bola! Como o nosso underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = 0 < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n !)/(e^(n^2)) é convergente

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