Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (3 n + 2)/(n (n + 1))

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (3 n + 2)/(n (n + 1)) harr f (x) = (3 x + 2)/(x (x + 1))

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (3 x + 2)/(x (x + 1)) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (3 x + 2)/(x (x + 1)) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por frações parciais, em que teremos:

(3 x + 2)/(x (x + 1)) = (A)/(x) + (B)/((x + 1)) :. (A (x + 1) + B x)/(x (x + 1)) = (x ( A + B ) + A)/(x (x + 1)) -> {[[(A + B) = 3],[A = 2]]) overset(:.)(->) {[[A = 2],[B = 1]])

Temos, portanto, que:

(3 x + 2)/(x (x + 1)) = (2)/(x) + (1)/((x + 1)) overset(:.)(->) int (3 x + 2)/(x (x + 1)) d x = int (2 d x)/(x) + int (d x)/((x + 1)) = underset(ln [(x^2) * (x + 1)])(ubrace underset(ln x^2)(ubrace 2 ln x) + ln (x + 1))

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (3 x + 2)/(x (x + 1)) d x = underset(t -> oo)(lim) [ln [(x^2) * (x + 1)]]_1^t = underset(t -> oo)(lim) (ln [(t^2) * (t + 1)] - ln [1 * 2]) = oo

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (3 n + 2)/(n (n + 1)) é divergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores de p para os quais a série é convergente. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n p
Quantos termos da série ∑ n = 2 ∞ 1 / n ln ⁡ n 2 você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?
Encontre todos os valores de c para os quais a seguinte série converge: ∑ n = 3 ∞ c n - 1 n + 1
(a) Mostre que a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n 2 é convergente.(b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximação s ≈ s n . (c) Qual é o menor valor de n tal que esse limitante superior seja m
Faça um desenho para mostrar que ∑ n = 2 ∞ 1 n 1,3∫ 1 ∞ 1 x 1,3d x O que você pode concluir sobre a série?