Determine a solução

c) d^2x/dt^2 - 2 dx/dt + x = 5e^t

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

d 2 x d t 2 - 2 d x d t + x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → d x d t = λ e λ t → d 2 x d t 2 = λ 2 e λ t , assim:

d 2 x d t 2 - 2 d x d t + x = 0 → λ 2 e λ t - 2 λ e λ t + e λ t = e λ t λ 2 - 2 λ + 1 = 0

e λ t λ 2 - 2 λ + 1 = 0 → λ 2 - 2 λ + 1 = 0 → λ = λ - 1 2 → λ = 1

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 =   λ 2 então podemos reescrever x h t como sendo:

x h t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 1 = λ 2

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x h t = A e t + B t e t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a 0 e α t , para o nosso caso temos que α é raiz dupla, então vamos usar x p = m t 2 e α t

Para achar o m vamos substituir sendo x p = m t 2 e t = x

d 2 m t 2 e t d t 2 - 2 d m t 2 e t d t + m t 2 e t = 5 e t

d m t 2 e t d t = 2 m t e t + m t 2 e t = m e t 2 t + t 2

d m e t 2 t + t 2 d t = m e t 2 t + t 2 + 2 + 2 t m e t = m e t 2 t + t 2 + 2 + 2 t

= m e t t 2 + 4 t + 2

m e t t 2 + 4 t + 2 - 2 m e t 2 t + t 2 + m t 2 e t = 5 e t

m e t t 2 + 4 t + 2 - 4 t - 2 t 2 + t 2 = 5 e t → m e t 2 = 5 e t → m = 5 2

Ou seja:

x p = 5 2 t 2 e t

Passo 4

Substituindo:

x t = A e t + B t e t   + 5 2 t 2 e t

Resposta

x t = A e t + B t e t   + 5 2 t 2 e t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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