Enunciado

Determine a solução geral.

(d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) = 3 t^2

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

y (t) = y_h (t) + y_p (t)

Onde y_h (t) é a solução homogênea e y_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

(d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) = 0

Vamos então supor a solução y_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

(d y)/(d t) = r e^(r t)

(d^2 y)/(d t^2) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 3 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 3 r) = 0

r^2 - 3 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 3 r = 0

r (r - 3) = 0

r_1 = 0

r_2 = 3

Portanto a solução homogênea é da forma

y_h (t) = A + B e^(3 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 3 t^2 .

Temos então como entrada um polinômio de segundo grau, para esse tipo de entrada, como não temos uma componente y na equação diferencial, vamos supor que a solução particular tem a cara de um polinômio de mesmo grau, multiplicado por t

y_p (t) = a t^3 + b t^2 + c t

Calculando as derivadas

y_p^' (t) = 3 a t^2 + 2 b t + c

y_p^(' ') (t) = 6 a t + 2 b

Substituindo então na equação

(d^2 y_p)/(d t^2) - 3 (d y_p)/(d t) = 3 t^2

(6 a t + 2 b) - 3 (3 a t^2 + 2 b t + c) = 3 t^2

- 9 a t^2 + (6 a - 6 b) t + (2 b - 3 c) = 3 t^2

Por igualdade de polinômio

{[[- 9 a = 3 => a = - (1)/(3)],[6 a - 6 b = 0],[2 b - 3 c = 0]])

Manipulando a segunda equação

6 a = 6 b => a = b

b = - (1)/(3)

Fazendo a mesma coisa com a terceira equação

3 c = 2 b => c = (2)/(3) b

c = (2)/(3) (- (1)/(3))

c = - (2)/(9)

Então temos a solução particular

y_p (t) = - (1)/(3) t^3 - (1)/(3) t^2 - (2)/(9) t

E a solução geral é dada por

y (t) = y_h (t) + y_p (t)

y (t) = A + B e^(3 t) - (1)/(3) t^3 - (1)/(3) t^2 - (2)/(9) t

Com A , B in R .

Resposta

y (t) = A + B e^(3 t) - (1)/(3) t^3 - (1)/(3) t^2 - (2)/(9) t

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