Enunciado

Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade

f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y ;                           x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos de f na região interna ao círculo de raio 3 . Assim, temos que considerar tanto os pontos dentro da circunferência no interior da região como os pontos de fronteira sobre ela!

Como essa região é um conjunto fechado e limitado, podemos aplicar o teorema do valor extremo garantindo que f tem máximo e mínimo sobre ela! O que temos que fazer agora é achar os candidatos a extremos...

Teremos dois tipos de candidatos: pontos no interior da região e pontos de fronteira. Para os pontos do interior, basta fazer f x = f y = 0 . Tomando as derivadas parciais:

f x = 2 x + 4 = 0 ⇒ x = - 2

f y = 2 y - 4 = 0 ⇒ y = 2

Assim, o único candidato a extremo no interior da região é o ponto ( - 2 ,   2 ) .

Passo 2

Para a froteira, dada pela equação x 2 + y 2 = 9 , usamos o método dos multiplicadores de Lagrange com

g x , y = x 2 + y 2 - 9 = 0

Assim,

∇ f = ( 2 x + 4 ,   2 y - 4 )

∇ g = ( 2 x ,   2 y )

Portanto,

∇ f = λ   ∇ g ⇒ 2 x + 4 ,   2 y - 4 = λ   ( 2 x ,   2 y )

Assim,

2 x + 4 = 2 λ x 2 y - 4 = 2 λ y ⇒ λ - 1 x = 2 λ - 1 y = - 2

Assim,

x = 2 λ - 1         e         y = - 2 λ - 1

Agora substituímos isso na equação x 2 + y 2 = 9 :

4 λ - 1 2 + 4 λ - 1 2 = 9 ⇒ 8 λ - 1 2 = 9 ⇒ λ - 1 = ± 2 2 3

Obtemos assim dois novos candidatos a extremos:

- 3 2 , 3 2           e           3 2 ,   - 3 2

Passo 3

Por fim, temos apenas que avaliar o valor da função nos pontos encontrados:

f - 2 ,   2 = 4 + 4 - 8 - 8 = - 8

f - 3 2 , 3 2 = 9 2 + 9 2 - 12 2 - 12 2 = 9 - 12 2

f 3 2 ,   - 3 2 = 9 2 + 9 2 + 12 2 + 12 2 = 9 + 12 2

Assim, o mínimo ocorre em - 2 ,   2 e o máximo em 3 2 ,   - 3 2 .

Resposta

f - 2 ,   2 = - 8     →     m í n i m o

f 3 2 , - 3 2 = 9 + 12 2       →     m á x i m o

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