Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

f x , y = x 2 + x y + y 2 - 6 y ,       D = x , y - 3 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 5 }

Passo 1

Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas zeram.

Vamos fazer as derivadas parciais então...

f x = 2 x + y

f y = x + 2 y - 6

Beleza, a gente monta um sisteminha assim:

2 x + y = 0 x + 2 y - 6 = 0

Da primeira a gente tira que:

y = - 2 x

Substitui na outra...

x - 4 x - 6 = 0

- 3 x = 6

x = - 2

E então y = 4 .

Esses valores estão dentro do intervalo, então podemos usar esse ponto crítico:

( - 2,4 )

Que é o único da função.

Passo 2

Vamos testar o valor da função no ponto crítico e nos pontos do intervalo então:

  • f - 2,4 = - 12
  • f - 3,0 = 9
  • f - 3,5 = - 11
  • f 3,0 = 9
  • f 3,5 = 19

Vemos então que temos um máximo absoluto em ( 3,5 ) que é 19 , e um mínimo absoluto em ( - 2,4 ) que é - 12 .

Resposta

Valor máximo: 19

Valor mínimo: -11

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