Enunciado

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1 ,   1 × - 2 ,   2 .

Passo 1

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Olhando para o quadrado, já obtemos nossos limites de integração:

V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação do paraboloide:

x 2 4 + y 2 9 + z = 1

z = 1 - x 2 4 - y 2 9

V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 - y 2 9 d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ - 2 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 - y 2 9 d x   d y = ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 - y 2 9 d x d y = ∫ - 2 2 x - x 3 12 - y 2 x 9 - 1 1 d y = ∫ - 2 2 2 1 - 1 12 - y 2 9 d y = ∫ - 2 2 11 6 - 2 y 2 9   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ - 2 2 11 6 - 2 y 2 9   d y = 11 y 6 - 2 y 3 27 - 2 2 = 2 11   .   2 6 - 2   .   2 3 27 = 2 11   .   9 3   .   9 - 2   .   2 3 27 = 2 27 99 - 16 = 2   .   83 27 = 166 27

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Resposta

166 27

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