Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 + y 2 d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Nesse caso, temos as duas funções:

x = 1 - y 2

x = 0

Passo 3

Assim:

Dado:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 + y 2 d y   d x = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 2 r   d r   d θ

∫ 0 π 2 1 4 r 4 0 1 d θ

1 4 ∫ 0 π 2 d θ

1 4 θ 0 π 2

π 8

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 2 r   d r   d θ

E o valor da integral é:

π 8

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